cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk x+y = 2 . Cm xy bình phương nhân ( x bình + y bình ) <= 2

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
 = \dfrac{1}{4}.2xy.2xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
 \le \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2xy + 2xy}}{3}} \right)^3}\left( {Cauchy} \right)\\
 = \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2xy}}{3}} \right)^3}\\
 = \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{4 + 2xy}}{3}} \right)^3}\\
 = 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3}
\end{array}$

Mà: $x + y \ge 2\sqrt {xy} \left( {Cauchy} \right) \Rightarrow 2 \ge 2\sqrt {xy}  \Rightarrow xy \le 1$

Khi đó:

$ \Rightarrow {\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3} \le 2{\left( {\dfrac{{1 + 2}}{3}} \right)^3} = 2$

Dấu bằng xảy ra 

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2xy\\
x = y\\
x + y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$

Vậy ta có điều phải chứng minh