Câu 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với điểm A qua B, lấy điểm F sao cho D là trung điểm của AF. 1. Chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành. 2. Chứng minh C là trung điểm của đoạn EF. 3. Chứng minh ba đường thẳng AC, BF, DE đồng quy. 4. Gọi M là giao điểm của CD và BF, N là giao điểm của AM và CF. Chứng minh FN = 2/3 FC.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:Giải thích các bước giải: a, A và E đối xứng với nhau qua B nên BE=AB=DC DC//AB =>DC//BE tứ giác DCEB có BE//CD và BE=CD nên DCEB là hình bình hành b, chứng minh tương tự ta cũng có DBCF là hình bình hành Áp dụng tính chất của hbh ta chứng minh được E,C,F thẳng hàng như sau:ˆECF=ˆECB+ˆBCD+ˆDCF=ˆCBD+ˆBCD+ˆBDC=180∘ECF^=ECB^+BCD^+DCF^=CBD^+BCD^+BDC^=180∘Suy ra E,C,F thẳng hàng Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:BD/FE⇒DOFC=AOAC=OBCEDC=OB⇒FC=CEBD/FE⇒DOFC=AOAC=OBCEDC=OB⇒FC=CESuy ra C là trung điểm EF c, AC,BF,DE lần lượt là 3 đường trung tuyến kẻ từ 3 đỉnh của tam giác AEF nên chúng đồng quy d, Vẽ hình bình hành AEHF như hình bên dưới Gọi I là trung điểm FH Dễ dàng chứng minh ABIF là hình bình hành Suy ra AI và BF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm BF (do DBCF là hình bình hành) Suy ra M là trung điểm AI hay A,M,I thẳng hàng Tam giác AHF có 2 đường trung tuyến là AI và FC cắt nhau tại N nên N là trọng tâm tam giác AHF =>FN=2/3FC

Đáp án:

Giải thích các bước giải: a, A và E đối xứng với nhau qua B nên BE=AB=DC DC//AB =>DC//BE tứ giác DCEB có BE//CD và BE=CD nên DCEB là hình bình hành b, chứng minh tương tự ta cũng có DBCF là hình bình hành Áp dụng tính chất của hbh ta chứng minh được E,C,F thẳng hàng như sau: \[\widehat {ECF} = \widehat {ECB} + \widehat {BCD} + \widehat {DCF} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD} + \widehat {BDC} = 180^\circ \] Suy ra E,C,F thẳng hàng Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: \[\begin{array}{l} BD/FE \Rightarrow \frac{{DO}}{{FC}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{CE}}\\ DC = OB \Rightarrow FC = CE \end{array}\] Suy ra C là trung điểm EF c, AC,BF,DE lần lượt là 3 đường trung tuyến kẻ từ 3 đỉnh của tam giác AEF nên chúng đồng quy d, Vẽ hình bình hành AEHF như hình bên dưới Gọi I là trung điểm FH Dễ dàng chứng minh ABIF là hình bình hành Suy ra AI và BF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm BF (do DBCF là hình bình hành) Suy ra M là trung điểm AI hay A,M,I thẳng hàng Tam giác AHF có 2 đường trung tuyến là AI và FC cắt nhau tại N nên N là trọng tâm tam giác AHF =>FN=2/3FC