A(1:2) B(2:0) C (0:3) , I là điểm thỏa mãn hệ thức IA+3IC=2IB .Xác định tọa độ điểm I từ đó suy ra tọa độ điểm N là điểm nằm trên trục Ox sao cho biểu thức P=NA^2 -2NB^2 +3NC^2 đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

\[I\left( { - 3;\frac{{11}}{2}} \right)\]

\[N\left( { - 3;0} \right)\]

Giải thích các bước giải:

Gọi  \(I\left( {a;b} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức đã cho.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} \left( {1 - a;\,\,2 - b} \right)\\
\overrightarrow {IB} \left( {2 - a;\,\, - b} \right)\\
\overrightarrow {IC} \left( { - a;\,\,3 - b} \right)\\
\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IB} \\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - a} \right) - 2\left( {2 - a} \right) + 2.\left( { - a} \right) = 0\\
\left( {2 - b} \right) - 2.\left( { - b} \right) + 3.\left( {3 - b} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 3\\
b = \frac{{11}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow I\left( { - 3;\frac{{11}}{2}} \right)
\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
P = N{A^2} - 2N{B^2} + 3N{C^2}\\
 = {\overrightarrow {NA} ^2} - 2{\overrightarrow {NB} ^2} + 3{\overrightarrow {NC} ^2}\\
 = {\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2.{\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\
 = N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} - 2.\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) + 3\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IC}  + I{C^2}} \right)\\
 = 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} \left( {\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right) + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
 = 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow 0  + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
 = 2N{I^2} + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)
\end{array}\)

Do I, A, B, C là các điểm cố định nên \(\left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\) có giá trị không đổi.

Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi \(2N{I^2}\) có giá trị nhỏ nhất. Hay \(NI\) có giá trị nhỏ nhất.

Mặt khác, N là điểm nằm trên trục Ox nên NI nhỏ nhất khi N là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox.

Do đó, \(N\left( { - 3;0} \right)\)