Với hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ . Để tìm đạo hàm $f'\left( 0 \right)$ một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| x \right|\left| {\sin \dfrac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|$

Bước 2: Khi $x \to 0$ thì $\left| x \right| \to 0$  nên $\left| {f\left( x \right)} \right| \to 0 \Rightarrow f\left( x \right) \to 0$

Bước 3: Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0$  nên hàm số liên tục tại $x = 0.$

Bước 4: Từ $f(x)$ liên tục tại $x = 0 \Rightarrow f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x = 0.$

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?