Với các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab\) là

Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 2 + 2ab\) \( \Rightarrow ab = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2}}{2} = \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).

Khi đó ta có: \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab = 3\left( {a + b} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 6\left( {a + b} \right) + 9} \right] - \dfrac{{11}}{2}\\P = \dfrac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \dfrac{{11}}{2}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2.2 = 4\) \( \Rightarrow  - 2 \le a + b \le 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \le a + b + 3 \le 5\\ \Rightarrow  - 5 \le \dfrac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \dfrac{{11}}{2} \le 7\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {P_{\min }} =  - 5\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\a = b\\a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b =  - 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \( - 5\), đạt được khi \(a = b =  - 1\).