Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)

Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$

Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$

Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)  

\(k \ne p.\) 

\(k \ge p.\)

\(k = p.\)

\(k < p.\)

\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 5}}\)

\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}\)

\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)

\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 1}}\)

\({2^n} < n\)

\({2^n} < 2n\)            

\({2^n} < n + 1\)        

\({2^n} > 2n + 1\)

\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.

\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.

$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}.$

$ - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}; - \dfrac{6}{7}.$

$\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{5};\dfrac{5}{6}.$    

$0; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}$