Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng \({d_1}:x + y + 5 = 0,{d_2}:x + 2y - 7 = 0\)  và tam giác $ABC$ có \(A(2;3)\), trọng tâm là $G(2;0),$ điểm $B$ thuộc \({d_1}\)  và điểm $C$ thuộc \({d_2}\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

- Điểm $B$ thuộc \({d_1}:x + y + 5 = 0\) nên ta giả sử \(B(b; - b - 5)\)

Điểm $C$ thuộc \({d_2}:x + 2y - 7 = 0\) nên ta giả sử \(C(7 - 2c,c)\)

Vì tam giác $ABC$ có \(A(2;3)\), trọng tâm là $G(2; 0)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2 + b + 7 - 2c = 6\\3 - b - 5 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 2c =  - 3\\ - b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 1\end{array} \right.$

Suy ra \(B( - 1; - 4)\) và \(C(5;1)\)

- Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\). Vì đường tròn qua $3$ điểm  \(A(2;3)\), \(B( - 1; - 4)\) và \(C(5;1)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4a + 6b + c =  - 13\\ - 2a - 8b + c =  - 17\\10a + 2b + c =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 83}}{{54}}\\b = \dfrac{{17}}{{18}}\\c =  - \dfrac{{338}}{{27}}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn là:

$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 2.\left( { - \frac{{83}}{{54}}} \right)x + 2.\left( {\frac{{17}}{{18}}} \right)y - \frac{{338}}{{27}} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{{83}}{{27}}x + \frac{{17}}{9}y - \frac{{338}}{{27}} = 0
\end{array}$