Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình \(y = {x^2} - 2x\) và điểm \(I\left( { - 3;1} \right)\). Phép đối xứng tâm \({D_I}\) biến parabol $\left( P \right)$ thành parabol $\left( {P'} \right)$ có phương trình là
Trả lời bởi giáo viên
Lấy điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)\). Gọi \({D_I}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$, do đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 6 - x\\y' = 2 - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - x'\\y = 2 - y'\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 6 - x';2 - y'} \right) \in \left( P \right)\)
Thay vào ta có :
\(2 - y' = {\left( { - 6 - x'} \right)^2} - 2\left( { - 6 - x'} \right) \Leftrightarrow 2 - y' = x{'^2} + 12x' + 36 + 12 + 2x' \Leftrightarrow y' = - x{'^2} - 14x' - 46\)
Do \({D_I}\left( P \right) = \left( {P'} \right) \Rightarrow M' \in \left( {P'} \right)\), do đó phương trình parabol $\left( {P'} \right)$ là: \(y = - {x^2} - 14x - 46\)