Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta :\,x - 2y - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;\,2} \right)\), \(B\left( { - 2;\,3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,1} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\), biết đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng \(\Delta \) tại điểm \(M\) sao cho: \(\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(M\left( {2m + 5;m} \right) \in \Delta \).
\(G\left( { - 1;2} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
$\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG$.
\(\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow G\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \).
\(\overrightarrow {GM} = \left( {2m + 6;m - 2} \right)\); VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\).
\(G\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2m + 6} \right) + m - 2 = 0 \Leftrightarrow 5m + 10 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow M\left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) qua gốc tọa độ \(d:y = ax\).
\(M\left( {1; - 2} \right) \in d \Rightarrow a = - 2\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + y = 0\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ điểm \(M\) dựa vào điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất.
- Viết phương trình \(d\) và kết luận.
