Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( {-1;1} \right)$ và $B\left( {3;3} \right),$ đường thẳng $\Delta :3x-4y + 8 = 0.$ Có mấy phương trình đường tròn qua $A,B$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Tâm $I$ của đường tròn nằm trên đường trung trực \(d\) của đoạn $AB$.
Gọi d là đường trung trực của AB thì d đi qua trung điểm $M\left( {1;2} \right)$ của AB và có VTPT là \(\overrightarrow {AB} = (4;2)\)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow d:4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4x - 4 + 2y - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 4x + 2y - 8 = 0\\
\Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0
\end{array}$
$\Rightarrow $tâm $I\left( {a;4-2a} \right)$
Ta có $IA = d\left( {I,\Delta } \right)$ \( \Leftrightarrow \left| {11a - 8} \right| = 5\sqrt {5{a^2} - 10a + 10} \) \( \Leftrightarrow 2{a^2}-37a + 93 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = \dfrac{{31}}{2}\end{array} \right.\)
- Với $a = 3 \Rightarrow I\left( {3;-2} \right),R = 5$ $ \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x-3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$
- Với \(a = \dfrac{{31}}{2}\) \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{31}}{2}; - 27} \right)\), \(R = \dfrac{{65}}{2}\) \( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - \dfrac{{31}}{2}} \right)^2} + {(y + 27)^2} = \dfrac{{4225}}{4}\)
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình đường trung trực của \(AB\) suy ra tọa độ tâm \(I\) theo phương trình.
- Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc đường tròn \(\left( C \right)\) nếu và chỉ nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R = IA\)
