Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): 3x - 4y + 5 = 0$ và đường tròn $(C):$ \({x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 9 = 0.\) Tìm những điểm $M$ thuộc $(C)$ và $N$ thuộc $(d)$ sao cho $MN $ có độ dài nhỏ nhất.

Đường tròn $(C )$ có tâm \(I( - 1;3)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 9}  = 1\).

Ta có: \(d(I;d) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 > R\)

Suy ra \(d\) không cắt $(C ).$

Ta có \(IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R\)\(\) 

$MN $ min  \( \Leftrightarrow \)  $IN$ đạt min \( \Leftrightarrow \) $N$ là chân hình chiếu vuông góc của $I$ xuống đường thẳng $d.$

Giả sử \(N(a;b)\). Vì \(N \in d\) nên ta có $3a{\rm{  -  }}4b{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ (1)

Mặt khác, ta có: $IN$ vuông góc với $d$ nên \(\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Mà \(\overrightarrow {IN}  = \left( {a + 1;b - 3} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3} \right)\). Suy ra ta có: \(4(a + 1) + 3(b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{5}\\b = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)

Vì \(d(I;d) = 2R\) nên \(M\) là trung điểm của \(IN\). Do đó, tọa độ của \(M\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + \dfrac{1}{5}} \right) =  - \dfrac{2}{5}\\{y_M} = \dfrac{1}{2}\left( {3 + \dfrac{7}{5}} \right) = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right)\)