Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\).
Phương trình đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(M\left( {1 + t;0;t - 5} \right) \in {d_1}\), \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in {d_2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1 - t;4 - 2t';10 + 3t' - t} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a = \left( {1;0;1} \right)\), \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b = \left( {0; - 2;3} \right)\).
Để \(MN\) là đoạn vuông góc chung thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\,\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right.\).
Phương trình đường vuông góc chung là \(MN:\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ hai điểm \(M,N\) lần lượt thuộc hai đường thẳng.
- Dựa vào điều kiện \(MN\) là đường vuông góc chung để tìm tọa độ \(M,N\)