Trong không gian với hệ tọa độ $O x y \bar{z}$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x-z-4=0$. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$.

Cách 1:

Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 1 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( {3;1; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương $\vec{u}_{d}=(3 ; 1 ;-1)$.

Vì điểm $M(3 ; 1 ;-1) \in(P)$ nên $M=d \cap(P)$.

Gọi điểm $O=(0 ; 0 ; 0) \in d$ và $K$ là hình chiếu của $O$ trên $(P)$.

Gọi đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ suy ra đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ pháp tuyển của mặt phẳng $(P)$ làm vecto chỉ phương $\vec{u}_{\Delta}=(1 ; 0 ;-1)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{\begin{array}{l}x=t^{\prime} \\ y=0 \\ z=-t^{\prime}\end{array}\right.$.

Khi đó $K=\Delta \cap(P)$.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y = 0}\\{z =  - {t^\prime }}\\{x - z - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 2}\\{x = 2}\\{y = 0}\\{z =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow K = (2;0; - 2)\)

Hình chiếu của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$ là đường thẳng $M K$.

Véctơ chỉ phương $\overrightarrow{M K}=(-1 ;-1 ;-1)=-1(1 ; 1 ; 1)$.

Phương trình đường thẳng $M K$ là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t \\ y=1+t \\ z=-1+t\end{array}\right.$.

Cách 2: Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc vởi $(Q)$.

$\left\{\begin{array}{l}(Q) \perp(P) \\ (Q) \supset d\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\bar{n}_{Q)}+\vec{n}_{(Q)} \\ \bar{n}_{Q)} \perp \vec{u}_{d}\end{array}\right.\right.$ nên $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{(Q)}=\left[\vec{n}_{(p)}, \vec{u}_{d}\right]=(-1 ; 2 ;-1)$.

Lấy điểm $O(0 ; 0 ; 0) \in d \Rightarrow O \in(Q)$.

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $O$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(-1 ; 2 ;-1)$ có phương trình là $-x+2 y-z=0$.

Gọi $d^{\prime}$ là hình chiếu của $d$ trên $(P) \Rightarrow d^{\prime}=(P) \cap(Q)$ nên $d^{\prime}$ có một vectơ chỉ phương là

$\vec{u}_{d}=\dfrac{1}{2}\left[\vec{n}_{(P)}, \vec{n}_{(Q)}\right]=(1 ; 1 ; 1)$

Gọi $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $d^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}M \in(P) \\ M \in(Q)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{M}-z_{M}-4=0 \\ -x_{M}+2 y_{M}-z_{M}=0\end{array}\right.\right.$.

Chọn $x=3$ ta được $\left\{\begin{array}{l}-z_{M}-1=0 \\ 2 y_{M}-z_{M}=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y_{M}=1 \\ z_{M}=-1\end{array} \Rightarrow M(3 ; 1 ;-1)\right.\right.$.

Đường thẳng $d^{\prime}$ đi qua điểm $M(3 ; 1 ;-1)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1 ; 1 ; 1)$ có phương trình là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)