Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 4)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 6)^2} = 50\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \((S)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(d\) ?

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(4; - 3; - 6),R = 5\sqrt 2 \).

Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow M(a;0;0)\)

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ \(M\) đến \((S)\).

Khi đó \((P)\) đi qua \(M(a;0;0)\), vuông góc với đường thẳng \(d\), phương trình mặt phẳng \((P)\) là:

\(2(x - a) + 4y - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 4y - z - 2a = 0\)

Ta có: \(M\) là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra

\(IM > R \Leftrightarrow {(a - 4)^2} + 9 + 36 > 50\)\( \Leftrightarrow {(a - 4)^2} > 5\)

\(d(I,(P)) < R \Leftrightarrow \dfrac{{|8 - 12 + 6 - 2a|}}{{\sqrt {21} }} < 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow |2 - 2a| < 5\sqrt {42} \)

Từ (1) và (2), suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 4)}^2} > 5}\\{|2 - 2a| < 5\sqrt {42} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 8a + 11 > 0}\\{{a^2} - 2a + 1 < \dfrac{{350}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 7}\\{a \le 1}\\{ - 15 \le a \le 17}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 15 \le a \le 1}\\{7 \le a \le 17}\end{array}} \right.} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\) )

Vậy có 28 điểm \(M\) thoả mãn.