Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ và 2 điểm $A\left( {6;3; - 2} \right)$; $B\left( {1;0; - 1} \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $B$, vuông góc với $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có tọa độ :

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0$.

$\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $d \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)$.

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$ và $\Delta$ ta có $AH \le AK$.

Do đó để khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là nhỏ nhất $\Rightarrow H \in \Delta$.

Phương trình $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;1} \right)$ là 1 VTCP là $\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 2t\\y = 3 + t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l}H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)\end{array}$

$\Delta$ đi qua $B,\,\,H$ nhận $\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)$ là 1 VTCP.