Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\) thuộc \(\Delta \) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(H\left( {1; - 1;0} \right)\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Vì \(I \in \Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) nên ta gọi \(I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)\).
Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) tại điểm \(H\left( {1; - 1;0} \right)\) nên ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5} \\ \Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30\\ \Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)
\( \Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(R = IH = \sqrt 6 \).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
Hướng dẫn giải:
- Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in \Delta \) theo tham số \(t\).
- Tính khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,Ax + By + Cz + D = 0\): \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
- Tính độ dài đoạn thẳng \(IH\): \(IH = \sqrt {{{\left( {{x_H} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_H} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_H} - {z_I}} \right)}^2}} \) .
- Giải phương trình \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R\) tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
- Mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).
