Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - \infty \end{array}\)
Suy ra \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - 1\end{array}\)
Suy ra \(y = 1,\,\,y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
- Tìm ĐKXĐ của hàm số.
- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):
+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\).
+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \).
