Câu hỏi:

Tính tổng phần thực của tất cả các số phức $z \ne 0$ thỏa mãn $\left( {z + \dfrac{5}{{\left| z \right|}}} \right)i = 7 - z.$

Xem đáp án

Đề thi toán học, tư duy logic và phân tích số liệu - Đề số 1 - TOÁN, TƯ DUY LOGIC, PHÂN TÍCH SỐ LIỆU - Đánh Giá Năng Lực. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left( {z + \dfrac{5}{{\left| z \right|}}} \right)i = 7 - z \Leftrightarrow zi + \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}} = 7 - z \Leftrightarrow z\left( {i + 1} \right) = 7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}\\ \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^2} = 49 + \dfrac{{25}}{{{{\left| z \right|}^2}}} \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^4} - 49{\left| z \right|^2} - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 25\,\,\left( {tm} \right)\\\left| z \right| = - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| z \right| = 5\,\,\left( {Do\,\,\left| z \right| > 0} \right)\end{array}$

Thay $\left| z \right| = 5$ vào biểu thức đề bài ta có:

$\left( {z + 1} \right)i = 7 - z \Leftrightarrow z\left( {i + 1} \right) = 7 - i \Leftrightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{i + 1}} = 3 - 4i$.

Hướng dẫn giải:

Cô lập $z$, sử dụng phương pháp môđun hai vế.

Giải thích thêm:

Từ $\left| {z\left( {i + 1} \right)} \right| = \left| {7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}} \right|$

Mô đun 2 vế rồi bình phương ta được:

${\left| {z\left( {i + 1} \right)} \right|^2} = {\left| {7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}} \right|^2}$

Vế trái: Áp dụng $\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|$

$\begin{array}{l}\left| {z\left( {i + 1} \right)} \right| = \left| z \right|.\left| {i + 1} \right| = \sqrt 2 \left| z \right|\\ \Rightarrow {\left| {z\left( {i + 1} \right)} \right|^2} = 2{\left| z \right|^2}\end{array}$

Vế phải có phần thực của số phức $7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}$ là 7 và phần ảo là $ - \dfrac{5}{{\left| z \right|}}$ (vì $\left| z \right|$ là một số thực)

Khi đó: ${\left| {7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}} \right|^2} = {7^2} + {\left( {\dfrac{5}{{\left| z \right|}}} \right)^2}$