Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên  ta có

$2a - 3b = 9 \Rightarrow $$b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119 \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071 \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0$

$\Delta ' = 6084 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\,\left( N \right)\\a =  - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $a = 12 \Rightarrow b = 5$

Vậy số  lớn hơn là $12$ .