Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = m\) có nghiệm \(x \ge 1\) ?

ĐK: \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {5^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left[ {2\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] = m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).\dfrac{1}{2}\left[ {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] = m\\ \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = 2m\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right)\), với \(x \ge 1\) ta có \({5^x} \ge 5 \Rightarrow {5^x} - 1 \ge 4 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \ge {\log _2}4 = 2\)

Khi đó phương trình trở thành \({t^2} + t = 2m\,\,\left( {t \ge 2} \right)\,\,\,\left( * \right)\). Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \ge 1\) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{2}\). Lập BBT

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 2\) khi và chỉ khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3 \Rightarrow m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)