Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(\left| x \right| < 8\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Cách 1. Ta có \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in \left( { - 8;8} \right).\)
\( \bullet \) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4 \Leftrightarrow x > - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \dfrac{4}{m}; + \infty } \right).\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow - \dfrac{4}{m} \le - 8 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}.\)
Suy ra \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \bullet \) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành \(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi \(x.\)
Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \bullet \) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4 \Leftrightarrow x < - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \dfrac{4}{m}} \right).\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow - \dfrac{4}{m} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{1}{2}.\)
Suy ra \( - \dfrac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết hợp các trường hợp ta được \( - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
- Biện luận tập nghiệm \(S\) của bất phương trình theo \(m\).
- Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S\).
Giải thích thêm:
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với $f\left( x \right) = mx + 4 > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 8;8} \right)$\( \Leftrightarrow \)đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( { - 8;8} \right)$ nằm phía trên trục hoành Û hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 8} \right) \ge 0\\f\left( 8 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8m + 4 \ge 0\\8m + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{2}\\m \ge - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\).
