Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Bước 1:
Ta có \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2y.\sin 2x - y.\cos 2x + 4y\)\( = \sin 2x + 2\cos 2x + 3\)
\( \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x = 3 - 4y\)
\( \Rightarrow [\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x]^2 = (3 - 4y)^2\) (*)
Bước 2:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x} \right]^2}\)
\(\le \left[ {{{\left( {2y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)\( = {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)
Bước 3:
Kết hợp với (*), ta được \({\left( {3 - 4y} \right)^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 9 - 24y + 16{y^2}\)\( \le \left( {4{y^2} - 4y + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow 16{y^2} - 24y + 9 \le 5{y^2} + 5\)
\( \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{11} \le y \le 2\)
\( \Rightarrow\min y = \dfrac{2}{{11}};\max y = 2\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Biến đổi về dạng \(a\cos u + b\sin u = c\)
Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhia – Cốp – ki đánh giá vế trái suy ra một bất phương trình ẩn \(y\).
$(a.c+b.d)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Bước 3: Giải bất phương trình suy ra GTNN, GTLN của \(y\).
