Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình \({4.3^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + {9.4^{\log \left( {10x} \right)}} < {13.6^{1 + \log x}}\)

Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\begin{array}{l}{4.3^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + {9.4^{\log \left( {10x} \right)}} < {13.6^{1 + \log x}}\\ \Leftrightarrow {4.3^{\log {{\left( {10x} \right)}^2}}} + {9.2^{2.\log \left( {10x} \right)}} < {13.6^{\log \left( {10x} \right)}}\\ \Leftrightarrow {4.3^{2\log \left( {10x} \right)}} + {9.2^{2.\log \left( {10x} \right)}} < {13.6^{\log \left( {10x} \right)}}\\ \Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2\log \left( {10x} \right)}} - 13.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} + 9 < 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} > 0\) thì phương trình trở thành:

\(4{t^2} - 13t + 9 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < \dfrac{9}{4}\)

Do đó \(1 < {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} < \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow 0 < \log \left( {10x} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{10} < x < 10\)

Vậy số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9.