Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} = 2x + y}\\{{y^3} = 2y + x}\end{array}} \right.$ là:

Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

${x^3} - {y^3} = x - y \Leftrightarrow (x - y)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{{x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0(1)}\end{array}} \right.$

Thay $x = y$ vào hệ phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \sqrt 3 }\\{x =  - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}$

Cộng hai phương trình của hệ, ta được:

${x^3} + {y^3} - 3(x + y) = 0{\rm{ (2) }}$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0}\\{{x^3} + {y^3} - 3(x + y) = 0}\end{array}} \right.$

Đặt: $S = x + y$ và $P = xy$, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S^2} - P - 1 = 0}\\{{S^3} - 3SP - 3S = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P = {S^2} - 1}\\{{S^3} - 3S\left( {{S^2} - 1} \right) - 3S = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = 0}\\{P =  - 1}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y =  - 1}\end{array}{\rm{ hay }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm: $(0;0),( - 1;1)$,

$(1; - 1),(\sqrt 3 ;\sqrt 3 ),( - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 )$