Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{m\ln x - 2}}{{\ln x + m - 3}}\) đồng biến trên \(\left( {{e^2}; + \infty } \right)\) là

Đặt \(t = \ln x,\,\,\,t \in \mathbb{R}.\) Hàm số đã cho trở thành \(y = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}\,\,\,\left( {t \ne 3 - m} \right)\) (1)

Xét hàm số \(t = \ln x\) với\(x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)\)ta có: \(t'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} > 0\,\,\forall x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(t = \ln x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {{e^2}; + \infty } \right)\), do đó ta có: \(t \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành : Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{m\left( {m - 3} \right) + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}}.\)

Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi nó xác định trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) đồng thời \(f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)\) (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}t \ne 3 - m\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)\\{m^2} - 3m + 2 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m \le 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2.\) 

Suy ra không có giá trị nguyên không dương nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.