Tìm phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\). Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right)\), cắt hai tia \(Ox\), \(Oy\) và cách gốc tọa độ một khoảng bằng \(\sqrt 5 \).

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b.\)   \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\).

Xét tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\) nên ta có

      \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}\)  \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\; \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5\)  \(\left( 2 \right)\)                                                     

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(b = 3 - a\). Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được \({\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5\) \( \Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Với \(a = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(b = \dfrac{5}{2}\). Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a} =  - 5 < 0\): Loại.

Với \(a =  - 2\), suy ra \(b = 5\). Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y =  - 2x + 5\).