Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3n\, + \,1}}$ với $x \ne 0,$ biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3C_{n\, + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2.$

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left( a;b \right)\)và \(f(x)>0,\forall x\in \left( a;b \right)\). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,(a<b)\). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức:

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0$  là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\). Điểm nào sau đây nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $OAB$ với \(A\left( {1;1;2} \right),\;B\left( {3; - 3;0} \right)\). Phương trình đường trung tuyến $OI$ của tam giác $OAB$ là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên $R$ và thỏa mãn \(\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+C\). Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau?

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?