Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} .\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ { - 3;6} \right].\)
Ta có \({f^2}\left( x \right) = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \).
\( \bullet \) Vì $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ { - \,3;6} \right]$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \geqslant 9 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 3.\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 6.\) Vậy $m = 3.$
\( \bullet \) Lại có $2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 3 + x + 6 - x = 9$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \leqslant 18 \Rightarrow f\left( x \right) \leqslant 3\sqrt 2 .\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x + 3 = 6 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}.\) Vậy $M = 3\sqrt 2 .$
Vậy $m = 3,\,\,\,M = 3\sqrt 2 .$
Hướng dẫn giải:
- Bình phương \(f\left( x \right)\) và đánh giá GTNN của \({f^2}\left( x \right)\) dựa vào kết quả \(\sqrt {g\left( x \right)} \ge 0\).
- Đánh giá GTLN của \({f^2}\left( x \right)\) dựa vào bất đẳng thức Cô – si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} ,\forall x,y > 0\).
Giải thích thêm:
Ngoài cách bình phương trên, các em có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Copxki $\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} $ để đánh giá GTLN như sau :
\(f\left( x \right) = 1.\sqrt {x + 3} + 1.\sqrt {6 - x} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sqrt {x + 3} }^2} + {{\sqrt {6 - x} }^2}} \right)} = \sqrt {2.9} = 3\sqrt 2 \)
Sử dụng tiếp tục bất đẳng thức \(\sqrt a + \sqrt b \ge \sqrt {a + b} ,\forall a,b \ge 0\) (dấu “=” xảy ra khi \(a = 0\) hoặc \(b = 0\)) để đánh giá GTNN của \(f\left( x \right)\) như sau:
\(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \ge \sqrt {\left( {x + 3} \right) + \left( {6 - x} \right)} = \sqrt {3 + 6} = 3\).
Từ đó tìm điều kiện các dấu “=” xảy ra rồi kết luận.
