Tìm giá trị của $a$ để phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \left( {1 - a} \right){\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:${x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3$, ta có a thuộc khoảng:

Ta có ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}$.

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)$, phương trình đã cho trở thành $t + \dfrac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0$(*)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 3 + a > 0\\{t_1} + {t_2} = 4 > 0\\{t_1}{t_2} = 1 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < a < 1$

Ta có ${x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3$

Vì ${t_1} + {t_2} = 4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm $t = 3$ và $t = 1$.

Khi đó $1 – a = 3.1 = 3 ⇔ a = –2$.

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.