Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x - y + 2 = 0\) có dạng \(y = ax + b\). Tính a+b.

Chỉ được phép điền số 0, nguyên âm, nguyên dương và phân số dạng a/b

Đáp án:

Ta có: \(\Delta :3x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = 3x + 2\)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta \) nên tiếp tuyến có dạng \(y = 3x + b\) với \(b \ne 2\)

Ta có: \(y' = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Gọi tiếp điểm cần tìm là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Khi đó ta có: \(k = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} =  - 3\end{array} \right.\)

+ Với \({x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 1\). Tiếp điểm là \(M\left( { - 1; - 1} \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại M là:

\(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2\) (Loại)

+ Với \({x_0} =  - 3 \Rightarrow {y_0} = 5\). Tiếp điểm là \(M\left( { - 3;5} \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại M là:

\(y = 3\left( {x + 3} \right) + 5 = 3x + 14\)(TM)

Vậy \(a = 3,b = 14 \Rightarrow a + b = 17\).