Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} }  + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} }  = 1$ là:

Điều kiện: $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}x + 5 - 4\sqrt {x + 1}  = x + 1 - 4\sqrt {x + 1}  + 4 = {\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)^2}\\x + 2 - 2\sqrt {x + 1}  = x + 1 - 2\sqrt {x + 1}  + 1 = {\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)^2}\end{array}$

Phương trình:

$\begin{array}{l}\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} }  + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} }  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)}^2}}  = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| + \left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

+) Trường hợp 1: Nếu $\sqrt {x + 1}  \ge 2 \Leftrightarrow x + 1 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = \sqrt {x + 1}  - 2\\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = \sqrt {x + 1}  - 1\end{array} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  - 2 + \sqrt {x + 1}  - 1 = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)$

+) Trường hợp 2: Nếu $\sqrt {x + 1}  \le 1 \Leftrightarrow x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = 1 - \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1}  + 1 - \sqrt {x + 1}  = 1 $ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)$

+) Trường hợp 3: Nếu $1 < \sqrt {x + 1}  < 2$ $ \Leftrightarrow 1 < x + 1 < 4 $ $\Leftrightarrow 0 < x < 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = \sqrt {x + 1}  - 1\end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x + 1}  - 1 = 1$

$ \Leftrightarrow 1 = 1$ (luôn đúng với $\forall x \in (0; 3)$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $[0; 3]$