Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m}  = m\) có nghiệm là:

Ta có: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m}  = m\) suy ra \(m \ge 0\).

Đặt \(\sqrt {\cos x + m}  = t\), \(t \ge 0\). Phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + t = m\\{t^2} - \cos x = m\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \,\left( {{{\cos }^2}x - {t^2}} \right) + \left( {t + \cos x} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {\cos x + t} \right)\left( {\cos x - t + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - t\\\cos x - t + 1 = 0\end{array} \right.$

+) Trường hợp \(1\): \(\cos x =  - t\) \( \Rightarrow \sqrt {\cos x + m}  =  - \cos x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\{\cos ^2}x - \cos x = m\end{array} \right.\)

Đặt \(u = \cos x\)\(\left( { - 1 \le u \le 0} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {u^2} - u\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\), có hoành độ đỉnh \(x = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\) và bảng biến thiên:

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {0;\,2} \right]\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}\).

+) Trường hợp \(2\): \(\cos x - t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {\cos x + m}  = 1 + \cos x\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x + \,\cos x + 1 = m\).

Đặt $v = \cos x$, $ - 1 \le v \le 1$. Ta có \(m = {v^2} + v + 1 = g\left( v \right)\)

Hàm số bậc hai \(g\left( v \right)\) có hoành độ đỉnh \(v =  - \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) có bảng biến thiên :

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {\dfrac{3}{4};3} \right]\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).

Vậy có tất cả \(4\) số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.