Câu hỏi:
2 năm trước
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\)
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình (*) ta có: \(6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\) (luôn đúng)
\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}6\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8 = \dfrac{6}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 6{\tan ^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Hướng dẫn giải:
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos x \ne 0\) thì chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), trở thành phương trình bậc hai với ẩn là \(\tan x\)
- Giải phương trình trên tìm \(\tan x\) suy ra nghiệm \(x\).
