Câu hỏi:
2 năm trước
Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ $O$ , bán kính bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2 \) và độ dài trục nhỏ bằng $2$ (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \(\dfrac{{100}}{{(2\sqrt 2 - 1)\pi }}kg\) phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có : \(y = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \) (nửa trên của elip)
Diện tích của elip là: \(S = 4\int_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } dx\)
Đặt \(x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \dfrac{{{x^2}}}{2} = {\sin ^2}a\)
Suy ra: \(dx = - \sqrt 2 \sin ada\)
Đổi cận \(x = \sqrt 2 \Rightarrow a = 0\) ; $x = 0$ thì \(a = \dfrac{\pi }{2}\)
\({S_1} = \int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 {{\sin }^2}ada} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2a - a} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{{\sqrt 2 \pi }}{4}\)\( \Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi \)
Diện tích hình tròn là : \(S' = \pi {R^2} = \pi .\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\pi \)
Diện tích trồng hoa: \({S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)\)
Số kg phân bón là :\(\dfrac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)\pi = 50kg\)
Hướng dẫn giải:
- Tính diện tích elip và diện tích hình tròn dựa vào công thức tích phân.
- Tính diện tích phần trồng hoa.
- Tính số kg phân bón cần dùng.
