Nếu $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}$ thì $3\sin x + 2\cos x$ bằng

$\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$$\Leftrightarrow 2\sin x.\cos x =  - \dfrac{3}{4}$$\Rightarrow \sin x.\cos x =  - \dfrac{3}{8}$

Khi đó $\sin x,\,\cos x$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{3}{8} = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.$

Ta có $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 1$

+) Với $\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$$\Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}$

+) Với $\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4} \Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}$.