Nếu $\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} $ và $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} $ thì $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} $ bằng:

$30$

$31$

$5$

$10$

Xem đáp án

47 lượt xem

Tích phân - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: d

Ta có: $\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} $

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 36\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx - \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} = 36 - 5\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]dx} = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {dx} = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \left. x \right|_0^1 = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 1 = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 30 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 10.\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân:

$\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \end{array}$

Câu hỏi khác

Câu 1:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Chọn mệnh đề sai?

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $

$\int\limits_a^b {kdx} = k\left( {b - a} \right)$

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} $ với $b \in \left[ {a;c} \right]$

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} $