Một công ty kinh chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm mục đích thu hút khác hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên internet và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên internet là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Trang internet chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo ngắn nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dì tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên internet. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên internet và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Bước 1:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên internet là x (phút)\(\left( {x \ge 0} \right)\), trên truyền hình là y (phút)\(\left( {y \ge 0} \right)\).

Bước 2:

Chi phí cho việc quảng cáo là \(800000x + 4000000y\).

Vì mức chi phí tối đa là 16.000.000 đồng nên ta có bất phương trình:

\(\begin{array}{l}800000x + 4000000y \le 16000000\\ \Leftrightarrow x + 5y - 20 \le 0\end{array}\)

Do các điều kiện của internet và truyền hình nên ta có: \(x \ge 5,y \le 4\).

Hiệu quả chung của quảng cáo là \(x + 6y\).

Bước 3:

Bài toán trở thành: Xác định \(x,y\) sao cho \(M\left( {x;y} \right) = x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.

Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y - 20 \le 0\\x \ge 5\\y \ge 0\\y \le 4\end{array} \right.\left( * \right)\)

Bước 4:

Xác định miền nghiệm của hệ (*):

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(\left( d \right):x + 5y - 20 = 0;\left( {d'} \right):x = 5;\)\(\left( {d''} \right):y = 4\).

Khi đó miền nghiệm của hệ (*) là phần mặt phẳng (tam giác) bị tô màu trên hình vẽ

Bước 5:

\(M\left( {x;y} \right) = x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \(\left( {5;3} \right),\left( {5;0} \right),\left( {20;0} \right)\).

Ta có: \(M\left( {5;3} \right) = 23;M\left( {5;0} \right) = 5;\)\(M\left( {20;0} \right) = 20\).

Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên internet là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.