Câu hỏi:
2 năm trước
Hàm số \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{a}{b}\) (\(a\), \(b\) nguyên dương, phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Vì \(0 < x < 1\) nên \(x > 0\) và \(1 - x > 0\)
Từ đó \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\)\( = \dfrac{{{2^2}}}{x} + \dfrac{{{3^2}}}{{1 - x}}\)\( \ge \dfrac{{{{\left( {2 + 3} \right)}^2}}}{{x + 1 - x}} = 25\)
Suy ra \({y_{\min }} = 25\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{{1 - x}} \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right) = 3x\) \( \Leftrightarrow 2 - 2x = 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}= \dfrac{a}{b}\) \( \Rightarrow a + b = 7\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng BĐT CAUCHY – SCHAWARS: $\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}^2}}{{{b_n}}} \ge \dfrac{{{{({a_1} + {a_2} + ... + {a_n})}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}$, trong đó các số ${b_i} > 0$.
Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\).
