Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,\,x \ne  - 1\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x =  - 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)

Hàm phân thức \(y = \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\) có txđ \(D = R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) và liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta chỉ cần xét tính liên tục của \(y = f\left( x \right)\) tại các điểm \(x = 0;x =  - 1\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3 = f\left( { - 1} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} = 1 = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại $x = 0.$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).