Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{|z| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 5i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 5i} \right|^2}\) bằng

Giả sử \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\) và điều kiện \(|z| - z \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ne 0}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(w = \dfrac{1}{{|z| - z}} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right) + yi}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)}^2} - {y^2}}}\) \( + \dfrac{y}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)}^2} + {y^2}}}i\)

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow 8\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\) \( = 2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

\( \Leftrightarrow 4\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\) \( = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 4}\\{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x = 0}\end{array}} \right.\)

TH1: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn điều kiện).

TH2: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16\)

Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i\)

\( \Rightarrow x_1^2 + y_1^2 = 16;x_2^2 + y_2^2 = 16\)

Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = 4\)

Xét \(P = {\left| {{z_1} - 5i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 5i} \right|^2}\)

\( = x_1^2 + {\left( {{y_1} - 5} \right)^2} - x_2^2 - {\left( {{y_2} - 5} \right)^2}\)

\( =  - 10\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le 10\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 10\sqrt {4 - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  \le 20\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2}\) và \(\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 2\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = 20\).