Câu hỏi:
2 năm trước
Giải phương trình \(8\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \dfrac{1}{{\sin x}}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,8\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \dfrac{1}{{\sin x}}\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\cos x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow - 2\left( {\cos 3x - \cos x} \right) = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow - 2\cos 3x + 2\cos x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \cos x - \sqrt 3 \sin x = 2\cos 3x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \cos x\cos \dfrac{\pi }{3} - \sin x\sin \dfrac{\pi }{3} = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = 3x + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = - 3x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Quy đồng.
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác dạng \(a\sin x + b\cos x = c\).
