Câu hỏi:
2 năm trước
Giả sử các phương trình sau đây đều có nghiệm. Nếu biết các nghiệm của phương trình: ${x^2}\; + {\rm{ }}px + {\rm{ }}q = 0$ là lập phương các nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + n = 0$. Thế thì:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}px + {\rm{ }}q = 0$
Gọi \({x_3},{x_4}\) là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}mx + {\rm{ }}n = 0$
- Khi đó, theo vi-et: \({x_1} + {x_2} = - p\), \({x_3} + {x_4} = - m\), \({x_3}.{x_4} = n\).
- Theo yêu cầu ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_3}^3\\{x_2} = {x_4}^3\end{array} \right.$$ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {x_3}^3 + {x_4}^3$$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^3} - 3{x_3}{x_4}\left( {{x_3} + {x_4}} \right)$
$ \Rightarrow - p = - {m^3} + 3mn$$ \Rightarrow p = {m^3} - 3mn$.
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng định lý vi-et với các nghiệm của cả hai phương trình.
- Biểu diễn giả thiết nghiệm này bằng lập phương của nghiệm kia và suy ra đáp án.
