Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Trong không gian\(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 3} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 1.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng 

Ta thấy \({z_A}.{z_B} < 0\) nên \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Gọi \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow B'\left( { - 2;1;3} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B'\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow H\left( { - 2;1;0} \right)\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {1; - 3;0} \right)\)

Suy ra \(HI = 5\)

Khi đó \(P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {AM - B'N} \right|\)                                                   \(\left( 1 \right)\)

Gọi \({A_1}\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B'}  = \overrightarrow {MN} \)

Do \(MN = 1\) nên \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(B'\) bán kính bằng \(1.\)

Khi đó \({A_1}B'NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow B'N = {A_1}M\)                             \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(P = \left| {{A_1}M - AM} \right| \le {A_1}A\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}A\) khi \({A_1},A,M\) thẳng hàng với \(M\) là giao điểm của \({A_1}A\) và \(\left( {Oxy} \right)\)

Khi đó \({A_1}A\) có giá trị lớn nhất khi \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(B'\) bán kính bằng \(1.\)

\({P_{\max }} = {A_1}A\) max \( = \sqrt {K{A^2} + {A_1}{K^2}} \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'H = 3\\d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow AK = 1\)

Và \({A_1}K = B'{A_1} + B'K = {A_1}B' + HI = 1 + 5 = 6\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{1^2} + {6^2}}  = \sqrt {37} \)