Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 5\)?

TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 5\\{z_0} =  - 5\end{array} \right.\)

Nếu \({z_0} = 5\) thay vào (*) ta có: \({5^2} - 10\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} - 10m + 15 = 0 \Rightarrow m = 5 \pm \sqrt {10} \)

Nếu \({z_0} =  - 5\) thay vào (*) ta có: \({\left( { - 5} \right)^2} + 10\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} + 10m + 35 = 0\) (vô nghiệm)

TH2: \({z_0}\) là số phức \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} = 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phức \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \).

Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}}  = {m^2}\)

Mà \(\left| {{z_0}} \right| = 5 \Rightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 25 \Rightarrow {z_0}.\overline {{z_0}}  = 25\)

Suy ra \({m^2} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\,(ktmdk)\\m =  - 5\,(tmdk)\end{array} \right.\)

Vậy có \(3\) giá trị \(m\) thỏa mãn.