Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(|z|\, = 1\) và \(|{\rm{w}}|\, = 2.\) Khi \(\left| {z + i\overline {\rm{w}}  + 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z + 6 - 8i\) và \( - i\overline {\rm{w}} \).

Ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z + 6 - 8i} \right) + \left( { - 6 + 8i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow MI = 1\) với \(I\left( {6; - 8} \right).\)

Suy ra tập hợp điểm \(M\) là đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\) tâm \(I\left( {6; - 8} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1\).

Ta có: \(\left| { - i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| { - i} \right|.\left| {\overline {\rm{w}} } \right| = 2.\)

Suy ra tập hợp điểm \(N\) là đường tròn \(\left( {{T_2}} \right)\) tâm \(O\) và bán kính \({R_2} = 2\).

Ta có: \(P = \left| {z + \overline {iw}  + 6 - 8i} \right| = MN\)

\( \Rightarrow \min P = OI - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\) (do \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_2}} \right)\) rời nhau).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \\\overrightarrow {ON}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {\dfrac{{27}}{5}; - \dfrac{{36}}{5}} \right)\\N\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z + 6 - 8i = \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i\\ - i\overline {\rm{w}}  = \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z =  - \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\{\rm{w}} = \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)

Vậy \(\left| {z - {\rm{w}}} \right| = \left| { - \dfrac{{11}}{5} + 2i} \right| = \dfrac{{\sqrt {221} }}{5}\)