Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Cắt hình nón \(\left( \aleph  \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({60^o}\), ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(2a.\) Diện tích xung quanh của \(\left( \aleph  \right)\) bằng

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là \(\left( {SAB} \right)\).

Do thiết diện của \(\left( {SAB} \right)\) và hình nón là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(SA = AB = AB = 2a\)

Kẻ \(OH \bot AB\). Nối \(S\) với \(H.\)

Khi đó \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(SH = a\sqrt 3 \)

Ta có: góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và mặt đáy là \(\angle SHO\)

Trong tam giác \(SHO\) vuông tại \(O\) ta có: \(\tan SHO = \dfrac{{SO}}{{OH}}\)\( \Rightarrow \tan {60^o} = \dfrac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow SO = \sqrt 3 .OH\)

Theo định lí py-ta-go ta có: \(S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}\)\( \Rightarrow 4O{H^2} = S{H^2} \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow SO = \dfrac{{3a}}{2}\)\( \Rightarrow OA = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi .\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.2a = \pi \sqrt 7 {a^2}\)