Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất bốn số nguyên \(b \in \left( { - 12;12} \right)\) thỏa mãn \({4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 65\)?

Ta có \({4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 65 \Leftrightarrow {4^{{a^2} + b}} - {3^{b - a}} - 65 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {4^{{a^2}}} - \dfrac{{{3^{b - a}}}}{{{4^b}}} - \dfrac{{65}}{{{4^b}}} \le 0\)\( \Leftrightarrow  - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}} - 65 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} + {4^{{a^2}}} \le 0\)

Xét hàm số \(f\left( b \right) =  - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}} - 65 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} + {4^{{a^2}}},\)\(b \in \left( { - 12;12} \right)\)

\( \Rightarrow {f^\prime }\left( b \right) =  - \ln \left( {\dfrac{3}{4}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}}\)\( - 65\ln \left( {\dfrac{1}{4}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} > 0\).

=> $f (b)$ đồng biến.

Để \(f\left( b \right) \le 0\) có ít nhất 4 nghiệm nguyên thì \(f\left( { - 8} \right) \le 0 \Leftrightarrow {4^{{a^2} - 8}} \le {3^{ - a - 8}} + 65\) \( \Rightarrow {4^{{a^2} - 8}} \le 65 \Rightarrow {a^2} - 8 \le {\log _4}65\).

Do \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in  - 3; - 2; \ldots 3\). Có 7 giá trị nguyên của \(a\).