Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - m\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3 = \dfrac{{2m}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){\tan ^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0\end{array}\)
Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng \(\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\)
\(m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại
\(m \ne \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8 -2 \sqrt {61} }}{{15}} \le m \le \dfrac{{ - 8 + 2\sqrt {61} }}{{15}}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 0\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos x \ne 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\).
- Đặt \(t = \tan x\), điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình bậc hai ẩn \(t\) có nghiệm.
