Câu hỏi:
2 năm trước

Cho tam giác $ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE = 2AE,F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho \(\overrightarrow {PA}  + 2\overrightarrow {PB}  + 3\overrightarrow {PC}  = 6\overrightarrow {IQ} \). Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Gọi $K$ là điểm xác định bởi \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

Khi đó  \(\overrightarrow {KA}  + 2\left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 6\overrightarrow {AK}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AK}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AI}  \Rightarrow K \equiv I \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Từ giả thiết ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {PA}  + 2\overrightarrow {PB}  + 3\overrightarrow {PC}  = 6\overrightarrow {IQ}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {PI}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {PI}  + 3\overrightarrow {IC}  = 6\overrightarrow {IQ} \\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {PI}  + \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = 6\overrightarrow {IQ}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PI}  = \overrightarrow {IQ} \end{array}$

 

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(PQ \Rightarrow {D_I}\left( P \right) = Q \Rightarrow \) Khi $P$ di động trên $\left( O \right)$  thì $Q$ di động trên đường tròn $\left( {O'} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.

Lời giải - Đề kiểm tra 1 tiết chương 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Đề số 2 - ảnh 1

Hướng dẫn giải:

Gọi $K$ là điểm xác định bởi \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \), chứng minh \(K \equiv I\)

Từ giả thiết ban đầu, sử dụng công thức 3 điểm, chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$, suy ra quỹ tích điểm $Q$ khi $P$ di động.

Câu hỏi khác