Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3i - 1} \right| = 2\). Quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 + 2i} \right)z + 2 + 5i\) là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\). Tìm \({R^2} - a - b\).
Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Ta có: \(w = \left( {1 + 2i} \right)z + 2 + 5i \Leftrightarrow z = \dfrac{{w - 2 - 5i}}{{1 + 2i}}\)
Thay vào biểu thức \(\left| {z + 3i - 1} \right| = 2\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left| {\dfrac{{w - 2 - 5i}}{{1 + 2i}} + 3i - 1} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 - 5i + \left( {3i - 1} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + 2i}}} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 9 - 4i}}{{1 + 2i}}} \right| = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {w - 9 - 4i} \right|}}{{\left| {1 + 2i} \right|}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {w - 9 - 4i} \right| = 2.\left| {1 + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {w - 9 - 4i} \right| = 2\sqrt 5 \end{array}\)
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm \(I\left( {9;4} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow {R^2} - a - b = 20 - 9 - 4 = 7\)
Hướng dẫn giải:
- Biểu diễn z theo w
- Thay vào biểu thức \(\left| {z + 3i - 1} \right| = 2\)
- Đưa biểu thức nhận được ở trên về dạng \(\left| {z - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\)